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Xcas: un logiciel libre de calcul formel
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 Sujet du message: mat307 2017/18
MessagePublié: Jeu Sep 07, 2017 3:11 pm 
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Inscrit le: Mar Déc 20, 2005 4:02 pm
Messages: 3991
Cours des mardi 5/9 et jeudi 7/9:
Presentation du module.
Courbes parametrees:
1/ motivation: graphes de fonction insuffisant, cinematique
2/ definition de courbe parametree sur un intervalle ou une reunion d'intervalles
3/ representation graphique par logiciel: discretisation tmin, tmax, tstep. Influence du choix de tstep sur le cout de calcul et la precision. On peut manquer des particularites de la courbe si le pas est trop grand.
Exemple plotfunc(x+0.01/(x-sqrt(2)),x=-2..2,xstep=0.1) et xstep=0.01
Interet de faire une etude analytique pour comprendre les particularites de la courbe, le trace par logiciel sert a verifier.
4/ Etude analytique
4.0 Rappel sur les graphes de fonction: domaine, parite/periodicite, recherche d'asympotes verticales/horizontales/obliques, tableau de varitions, tangentes horizontales, convexite
Exercice: montrer que si y''>=0 la courbe est au-dessus de la tangente.
4.1 domaine de definition
4.2 Restriction eventuelle par symetrie/periodicite:
4.3 Etude des branches infinies si x ou y -> infini ou les 2. Asymptote horizontale/verticale si un seul tend vers l'infini.
=== fin du cours de mardi/debut du cours du jeudi ===
Recherche d'asymptote oblique si les 2 tendent vers l'infini, lim(y/x)=a si a<>0, lim y-a*x. Branche parabolique si a=0 ou a=infini (je n'ai pas parle de parabole asymptote).
Exemple x(t)=2t+1/(2t+1), y(t)=t^2-1/(2t+1).
4.4 Etude locale en t0, regularite au moins C2
La tangente est portee par la vitesse si elle est non nulle/point regulier.
Def point singulier, si l'acceleration est non nulle la tangente est portee par l'acceleration pour un point singulier et on a un rebroussement.
Cas general: la tangente est portee par la 1ere derivee non nulle si elle existe, si l'ordre de la derivee est paire on a un rebroussement.
Exemple ci-dessus
4.5 Raffinement etude de la convexite: Si (vitesse,acceleration) est un repere direct la courbe est convexe,
si indirect concave, si nul inflexion analytique, si nul en changeant de signe, inflexion geometrique.
Critere equivalent m=y'/x' pente de la tangente en un point regulier, si le signe de m' est +, la pente croit, convexe, si - concave, si nul on a peut-etre une inflexion.
Remarque: le critere etend bien le cas d'un graphe de fonction x=t, x'=1, x''=0
Exemple: les calculs sont vite penibles -> interet de passer a la machine:
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/%7eparisse/xcasfr.html#+X%3A%3D2t%2B1%2F(2t%2B1)%3B%20Y%3A%3Dt%5E2-1%2F(2t%2B1)&+gl_x%3D-5..5%3Bgl_y%3D-6..10%3Bplotparam(%5BX%2CY%5D%2Ct%2C-4%2C2.5)&+X1%3A%3Ddiff(X%2Ct)%3B%20Y1%3A%3Ddiff(Y%2Ct)&+X2%3A%3Ddiff(X1%2Ct)%3B%20Y2%3A%3Ddiff(Y1%2Ct)&+factor(X1*Y2-X2*Y1)&+tabvar(%5BX%2CY%5D%2Ct)&+tabvar(%5BX%2CY%5D%2Ct%2Cplot)&


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 Sujet du message: Re: mat307 2017/18
MessagePublié: Ven Sep 15, 2017 6:39 am 
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Inscrit le: Mar Déc 20, 2005 4:02 pm
Messages: 3991
Cours du 14/9:
Recapitulatif etude de courbe en parametriques, reprise de l'exemple du cours precedent, double tableau de variations et trace.
Une meme courbe peut avoir differentes parametrisations, proprietes geometriques (independantes de la parametrisation, peuvent eventuellement dependre de l'orientation) et cinematiques: equation cartesienne/parametriques, tangente/vitesse, convexite/repere vitesse, acceleration.
Calcul demontrant que la convexite ne depend que de l'orientation.

Courbes en polaires: definition. Attention, r(theta) peut etre negatif, c'est une mesure algebrique.
Plan d'étude identique à paramétrique, mais plus simple.
Domaine, symetries/periodicites (au sens large).
Branches infinies: si theta->+/-inf est dans le domaine après restriction, spirale vers l'infini ou vers 0 ou vers un cercle asymptote si la limite de r(theta) existe. Si theta->theta0, recherche de lim r(theta)*sin(theta-theta0) si existe asymptote oblique Y=l dans le repère tourné.
Etude locale: vitesse=(r',r) dans le repère (e_r,e_theta). Conséquence: si r<>0 point régulier (si r'=0 tangente perpendiculaire au rayon vecteur), tanV=r/r' ou V=angle entre OM et la tangente.
Si r=0, la tangente est toujours portée par la droite d'angle theta_0, même si r'=0. Si r=0 et r'=0 point singulier, si r change de signe, allure normale, si r de signe constant, rebroussement.
Convexite: calcul du determinant de vitesse, acceleration dans le repere (e_r,e_theta)
Formulation equivalente: Pour avoir une inflexion, il faut que 1/r+(1/r)''=0,
Exemple: r=1/(1+2*cos(theta)), symetrie Ox, asymptote en theta=2*pi/3.


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 Sujet du message: Re: mat307 2017/18
MessagePublié: Jeu Sep 21, 2017 4:15 pm 
Hors-ligne

Inscrit le: Mar Déc 20, 2005 4:02 pm
Messages: 3991
cours du 21/9:
Courbe en polaire: fin de l'etude de r=1/(1+2*cos(theta)), tableau de variations, trace, pas de point d'inflexion.

Calculatrices: trace de courbe.

Coniques: intersection d'un plan avec un cone, 3 types.
a/ Ellipse MF+MF'=2a, FF'=2c, e=c/a<1
- équation cartésienne réduite
- grand cercle, ellipse obtenue par ecrasement selon Oy de sqrt(1-e^2)
- équation paramétrique trigonométrique de l'ellipse a*cos(t),b*sin(t)
- équation en polaire a*(1-e^2)/(1+e*cos(theta))
- propriété distance(M,foyer)=e*distance(M,directrice)
- application en mécanique céleste: lois de Kepler
b/ Parabole définie par distance(M,foyer)=distance(M,directrice), e=1
- équation cartésienne réduite (avec directrice verticale x=0, et foyer d'abscisse c) x=(y^2+c^2)/2/c
- équation en polaire réduite
- illustration des rayons réfléchis qui passent par le foyer


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