Le forum de XCAS

Xcas: un logiciel libre de calcul formel
Nous sommes actuellement le Mer Nov 22, 2017 9:03 am

Heures au format UTC




Publier un nouveau sujet Répondre au sujet  [ 9 messages ] 
Auteur Message
 Sujet du message: mat307 2017/18
MessagePublié: Jeu Sep 07, 2017 3:11 pm 
Hors-ligne

Inscrit le: Mar Déc 20, 2005 4:02 pm
Messages: 4104
Cours des mardi 5/9 et jeudi 7/9:
Presentation du module.
Courbes parametrees:
1/ motivation: graphes de fonction insuffisant, cinematique
2/ definition de courbe parametree sur un intervalle ou une reunion d'intervalles
3/ representation graphique par logiciel: discretisation tmin, tmax, tstep. Influence du choix de tstep sur le cout de calcul et la precision. On peut manquer des particularites de la courbe si le pas est trop grand.
Exemple plotfunc(x+0.01/(x-sqrt(2)),x=-2..2,xstep=0.1) et xstep=0.01
Interet de faire une etude analytique pour comprendre les particularites de la courbe, le trace par logiciel sert a verifier.
4/ Etude analytique
4.0 Rappel sur les graphes de fonction: domaine, parite/periodicite, recherche d'asympotes verticales/horizontales/obliques, tableau de varitions, tangentes horizontales, convexite
Exercice: montrer que si y''>=0 la courbe est au-dessus de la tangente.
4.1 domaine de definition
4.2 Restriction eventuelle par symetrie/periodicite:
4.3 Etude des branches infinies si x ou y -> infini ou les 2. Asymptote horizontale/verticale si un seul tend vers l'infini.
=== fin du cours de mardi/debut du cours du jeudi ===
Recherche d'asymptote oblique si les 2 tendent vers l'infini, lim(y/x)=a si a<>0, lim y-a*x. Branche parabolique si a=0 ou a=infini (je n'ai pas parle de parabole asymptote).
Exemple x(t)=2t+1/(2t+1), y(t)=t^2-1/(2t+1).
4.4 Etude locale en t0, regularite au moins C2
La tangente est portee par la vitesse si elle est non nulle/point regulier.
Def point singulier, si l'acceleration est non nulle la tangente est portee par l'acceleration pour un point singulier et on a un rebroussement.
Cas general: la tangente est portee par la 1ere derivee non nulle si elle existe, si l'ordre de la derivee est paire on a un rebroussement.
Exemple ci-dessus
4.5 Raffinement etude de la convexite: Si (vitesse,acceleration) est un repere direct la courbe est convexe,
si indirect concave, si nul inflexion analytique, si nul en changeant de signe, inflexion geometrique.
Critere equivalent m=y'/x' pente de la tangente en un point regulier, si le signe de m' est +, la pente croit, convexe, si - concave, si nul on a peut-etre une inflexion.
Remarque: le critere etend bien le cas d'un graphe de fonction x=t, x'=1, x''=0
Exemple: les calculs sont vite penibles -> interet de passer a la machine:
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/%7eparisse/xcasfr.html#+X%3A%3D2t%2B1%2F(2t%2B1)%3B%20Y%3A%3Dt%5E2-1%2F(2t%2B1)&+gl_x%3D-5..5%3Bgl_y%3D-6..10%3Bplotparam(%5BX%2CY%5D%2Ct%2C-4%2C2.5)&+X1%3A%3Ddiff(X%2Ct)%3B%20Y1%3A%3Ddiff(Y%2Ct)&+X2%3A%3Ddiff(X1%2Ct)%3B%20Y2%3A%3Ddiff(Y1%2Ct)&+factor(X1*Y2-X2*Y1)&+tabvar(%5BX%2CY%5D%2Ct)&+tabvar(%5BX%2CY%5D%2Ct%2Cplot)&


Haut
 Profil  
 
 Sujet du message: Re: mat307 2017/18
MessagePublié: Ven Sep 15, 2017 6:39 am 
Hors-ligne

Inscrit le: Mar Déc 20, 2005 4:02 pm
Messages: 4104
Cours du 14/9:
Recapitulatif etude de courbe en parametriques, reprise de l'exemple du cours precedent, double tableau de variations et trace.
Une meme courbe peut avoir differentes parametrisations, proprietes geometriques (independantes de la parametrisation, peuvent eventuellement dependre de l'orientation) et cinematiques: equation cartesienne/parametriques, tangente/vitesse, convexite/repere vitesse, acceleration.
Calcul demontrant que la convexite ne depend que de l'orientation.

Courbes en polaires: definition. Attention, r(theta) peut etre negatif, c'est une mesure algebrique.
Plan d'étude identique à paramétrique, mais plus simple.
Domaine, symetries/periodicites (au sens large).
Branches infinies: si theta->+/-inf est dans le domaine après restriction, spirale vers l'infini ou vers 0 ou vers un cercle asymptote si la limite de r(theta) existe. Si theta->theta0, recherche de lim r(theta)*sin(theta-theta0) si existe asymptote oblique Y=l dans le repère tourné.
Etude locale: vitesse=(r',r) dans le repère (e_r,e_theta). Conséquence: si r<>0 point régulier (si r'=0 tangente perpendiculaire au rayon vecteur), tanV=r/r' ou V=angle entre OM et la tangente.
Si r=0, la tangente est toujours portée par la droite d'angle theta_0, même si r'=0. Si r=0 et r'=0 point singulier, si r change de signe, allure normale, si r de signe constant, rebroussement.
Convexite: calcul du determinant de vitesse, acceleration dans le repere (e_r,e_theta)
Formulation equivalente: Pour avoir une inflexion, il faut que 1/r+(1/r)''=0,
Exemple: r=1/(1+2*cos(theta)), symetrie Ox, asymptote en theta=2*pi/3.


Haut
 Profil  
 
 Sujet du message: Re: mat307 2017/18
MessagePublié: Jeu Sep 21, 2017 4:15 pm 
Hors-ligne

Inscrit le: Mar Déc 20, 2005 4:02 pm
Messages: 4104
cours du 21/9:
Courbe en polaire: fin de l'etude de r=1/(1+2*cos(theta)), tableau de variations, trace, pas de point d'inflexion.

Calculatrices: trace de courbe.

Coniques: intersection d'un plan avec un cone, 3 types.
a/ Ellipse MF+MF'=2a, FF'=2c, e=c/a<1
- équation cartésienne réduite
- grand cercle, ellipse obtenue par ecrasement selon Oy de sqrt(1-e^2)
- équation paramétrique trigonométrique de l'ellipse a*cos(t),b*sin(t)
- équation en polaire a*(1-e^2)/(1+e*cos(theta))
- propriété distance(M,foyer)=e*distance(M,directrice)
- application en mécanique céleste: lois de Kepler
b/ Parabole définie par distance(M,foyer)=distance(M,directrice), e=1
- équation cartésienne réduite (avec directrice verticale x=0, et foyer d'abscisse c) x=(y^2+c^2)/2/c
- équation en polaire réduite
- illustration des rayons réfléchis qui passent par le foyer


Haut
 Profil  
 
 Sujet du message: Re: mat307 2017/18
MessagePublié: Jeu Sep 28, 2017 4:28 pm 
Hors-ligne

Inscrit le: Mar Déc 20, 2005 4:02 pm
Messages: 4104
cours du 28/9:
Coniques fin:
Hyperbole définie par |FM-F'M|=2a<2c=FF'
- équation cartésienne
- paramétrisation trigo hyperbolique
- équation polaire

Remarque sur le fait qu'une equation cartesienne de degre 2 donne une conique, par rotation on elimine le terme en x*y, illustration sur un exemple 2x^2+x*y+y^2=4 en faisant les calculs a la machine. Parametrisation rationnelle d'une conique passant par l'origine et nature de la conique (je l'ai fait rapidement sans traiter d'exemples).
Calculatrices: trace de courbe parametrique, et prise en main calcul formel pour l'etude analytique (HP Prime et TI 89/92, derivation, menus)

Propriétés métriques des courbes (debut):
Longueur d'arc paramétré (C1 par morceaux)=intégrale de ||vitesse instantannée|| * dt
=intégrale sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2)*dt ou integrale sqrt(r'^2+r^2) *d theta
Exemple: segment, arc de parabole, arc d'ellipse: il n'y a pas de formule explicite, c'est le cas general.

Paramétrage par s, la longueur d'arc. Vecteur vitesse=vitesse scalaire*vecteur tangent, vecteur tangent=dM/ds.
Calcul de l'acceleration d2M/dt^2 en fonction de T=dM/ds et d2M/ds^2, formule
a=dv/dt*T+v^2*dT/ds
dT/ds est orthogonal a T, dT/ds= kappa * N, kappa la courbure et N le vecteur normal tel que (M,T,N) soit orthonorme direct, c'est le repere de Frenet.
Je n'ai pas eu le temps ni de faire un schema, ni de donner les formules pour kappa.


Haut
 Profil  
 
 Sujet du message: Re: mat307 2017/18
MessagePublié: Jeu Oct 05, 2017 4:45 pm 
Hors-ligne

Inscrit le: Mar Déc 20, 2005 4:02 pm
Messages: 4104
5/10:
calcul de la courbure en parametrique et en polaire
Exemple: calcul pour R(cos(t),sin(t)), courbure=1/R
-> Rayon de courbure=1/|kappa|, kappa>0 convexe, kappa<0 concave, schema.
Cercle osculateur.

Exemple: calcul complet pour la parabole (t,t^2).
On remarque que les racines carrées disparaissent pour M+1/kappa*N (fait général).
Illustration du fait que la courbe traverse le cercle osculateur. Definition de sommet d'une courbe, point ou la courbure est extremale, analogue a l'ordre 2 de point d'inflexion a l'ordre 1.

Les centres des cercles décrivent une autre courbe, la développée.
Calcul de la tangente en un point de la développée, c'est la normale à la courbe de départ, longueur d'arc de la développée=différence entre les rayons de courbures de la courbe de départ.
Illustration du fait que la développée est l'enveloppe des normales à la courbe.
La developpee admet un point singulier au centre du cercle osculateur correspondant.

Formule kappa=dtheta/ds ou theta est l'angle entre Ox et le vecteur tangent. Equation intrinsèque d'une courbe: recherche d'une courbe vérifiant une relation entre le rayon de courbure et la longueur d'arc s.
Motivation: on veut parcourir une courbe à vitesse constante avec une accélération normale augmentant linéairement entre 0 et une valeur fixée (celle qu'on a sur un arc de cercle) pour faire un raccord entre une ligne droite et un arc de cercle.
v^2/R=s donc d/ds(theta)=cste*s où theta est l'angle de la tangente avec une direction fixe => spirale de Fresnel/clothoïde.

2ème partie: formes différentielles et intégrales curvilignes (intersection non vide avec le cours de mat304)
Dérivée directionnelle d'une fonction, dV(v)=derivee directionnelle de V selon v. Calcul en coordonnées dV((a,b))=a*partial_x V+b*partial_y V. Exemple V(x,y)=x [respectivement y], dx(v)=1ère [resp. dy(v)=2ème] composante de v.
On a alors dV=partial_x V dx+ partial_y V dy


Haut
 Profil  
 
 Sujet du message: Re: mat307 2017/18
MessagePublié: Jeu Oct 12, 2017 5:42 pm 
Hors-ligne

Inscrit le: Mar Déc 20, 2005 4:02 pm
Messages: 4104
cours du 12/10:
Lien entre dV et gradient: dV(w)=gradient V.v (gradient note \nabla)
Exemple d'application: retrouver l'expression de nabla V en coordonnées polaires
Exemple: calcul de gradient distance(F,M), F point fixé, pour M différent de F
dV s'annule sur un vecteur tangent à une courbe de niveau (ou gradient V est orthogonal à une ligne de niveau).
Application: tangente/normale a l'ellipse=bissectrices des rayons issus des foyers. En consequence un rayon lumineux issu d'un foyer se reflechissant sur un miroir elliptique passe par l'autre foyer.

Intégrale curviligne d'une forme différentielle omega le long d'un arc paramétré gamma(t), t \in [a,b] = integrale de a à b de omega appliqué à la vitesse en gamma(t)* dt
Exemple arc de parabole gamma(t)=(t,t^2), t \in [0,1] et omega=y*dx
Autre paramétrage (u^2,u^4), u \in [0,1]. Même résultat.
Ceci se généralise, justifiant la definition, il suffit de faire un changement de variables dans l'intégrale.

Peut-on calculer l'intégrale par différence entre une fonction aux 2 extrémités comme en dimension 1?
Si omage=dV, alors oui
On appelle forme diff exacte une forme pour lequel c'est possible.
Si omega est exacte alors omega=dV, preuve en integrant sur le segment (x,y)->(x+h,y) on trouve M=derivee partielle de V selon x
Remarque: convention de signe opposee a la physique avec F=-grad(V)
Condition nécessaire si V est C^2: partial M/partial y=partial N/partial x. On parle de forme fermée.
exacte -> fermée, mais la réciproque n'est pas toujours vraie, s'il y a des trous dans le domaine de définition de omega (idee de preuve sera donnee apres Stokes)
Exemple 1: y*dx non fermee donc non exacte, calcul sur l'arc de parabole deja fait, calcul sur le segment reliant (0,0) a (1,1)
Exemple 2: y*dx+x*dy
Fermée, exacte; calcul du potentiel V
calcul de 2 manieres de l'integrale curviligne de omega sur l'arc de parabole reliant (0,0) a (1,1): par V(B)-V(A) ou en parametrant avec (t,t^2), verification que c'est la meme chose sur le segment
Exemple 3: (y*dx-x*dy)/(x^2+y^2) fermée mais pas exacte à cause de (0,0), calcul de l'intégrale sur le cercle unité


Haut
 Profil  
 
 Sujet du message: Re: mat307 2017/18
MessagePublié: Jeu Oct 19, 2017 4:33 pm 
Hors-ligne

Inscrit le: Mar Déc 20, 2005 4:02 pm
Messages: 4104
19/10:
Définition de courbe intégrale pour omega: omega(vecteur tangent)=0 le long de gamma
Intérêt: si gamma se paramètre comme graphe de fonction y(x), alors M+N*y'=0 on a un graphe de solution de l'équation différentielle.
Si omega est exacte, omega=dV, alors une courbe intégrale est courbe de niveau de V, ce qui permet de résoudre l'équation différentielle.
Exemple: cos(x)*cos(y)+(cos(y)-sin(y)*(sin(x)+y))*y', calcul du potentiel les solutions sont courbes de niveau du potentiel, ici on peut exprimer x en fonction de y

Facteur intégrant: si oméga n'est pas fermée, on peut chercher une fonction f telle que (fM*dx+fN*dy) soit fermée, en général on cherche f dépendant de x ou de y seulement. Cela permet de résoudre plus d'équations différentielles de cette manière.

Remarque: en thermodynamique, la chaleur deltaQ est une forme différentielle non fermée (la chaleur échangée dépend du chemin choisi), mais (dans le cas réversible) 1/T est un facteur intégrant, 1/T*deltaQ=dS (S=l'entropie), dS est une forme exacte.

Théorème de Stokes/Green-Riemann. Idée de démonstration: rectangle puis réunion de rectangles et passage à la limite.
Application au calcul d'intégrales doubles:
calcul d'aire avec x*dy ou -y*dx ou 1/2*(-y*dx+x*dy), exemple aire de l'ellipse, calcul d'aire en polaire 1/2*r^2*d theta
centre d'inertie d'un quart de cercle.

Utilisation des calculatrices: rappel trace de courbe parametrique pour [cos(2t), sin(3t)]
calcul de la vitesse v=(v1,v2), acceleration a=(a1,a2), de v1*a2-v2*a1, recherche point d'inflexion avec solve, calcul de longueur d'arc approche


Haut
 Profil  
 
 Sujet du message: Re: mat307 2017/18
MessagePublié: Jeu Nov 09, 2017 4:18 pm 
Hors-ligne

Inscrit le: Mar Déc 20, 2005 4:02 pm
Messages: 4104
Equations différentielles et systemes differentiels

1/ Generalites.
Présentation sous forme résolue y'=f(y,t), f:R^nxR->R^n, y dans R^n.
Si f(y,t)=f(y) ne dépend pas du temps, on parle d'équation autonome (systeme isole en physique, pas de dependance explicite en temps). Si f(y,t)=f(y)+g(t) autonome avec forçage extérieur (= second membre, source exterieure).
-> Equation non resolue: il faut commencer par calculer y' lorsque c'est possible, par exemple y'^2+y^2=1.
-> Si l'équation est d'ordre >1, on peut se ramener a un systeme d'ordre 1 en augmentant la dimension, par exemple l'équation fondementale de la dynamique y''=somme des forces(y,y',t)/m en posant Y=(y,y')

Problématique: résolution explicite? Certaines formes d'equations le sont, mais ce n'est pas generique. Les systemes de calcul formel implementent ces resolutions. On ne traitera qu'une partie des methodes de resolution: principalement variables separables, lineaire d'ordre 1, lineaire a coefficients constants.

Problématique: determinisme? existence/unicité d'une solution passant par une condition initiale donnée. On verra que c'est le cas si f est reguliere.

Problématique: que se passe-t-il si on connait une condition initiale avec une certaine precision? chaos bien que deterministe. On se contentera ici de parler du comportement asymptotique des solutions lorsque t->infini : limite y0, infinie, solution periodique (par exemple y'+a*y=0 si a>0 y->0 si t->+infty)
regime permanent/regime transitoire par exemple y'=-y+cos(t)
resonance

Représentation graphique: si on connait une solution, la tangente a son graphe a pour pente f(y,t). On appelle champ des tangentes un quadrillage d'une partie du plan (t,y) par des segments de pente f(y,t). Cela donne une idée des solutions, une courbe solution est tangente au vecteur si elle passe par un point du quadrillage, et proche sinon : c'est la base de la resolution numerique des equations differentielles (noms des methodes d'Euler, de Runge-Kutta donnes pour culture generale).

Théorème de Cauchy-Lipschitz (admis): si f continument dérivable sur R^nxR il existe une solution maximale sur un intervalle ouvert en temps I passant par toute condition initiale.
Fonctionne aussi sur un ouvert D de R^nxR.
Idée: équation intégrale équivalente -> méthodes d'approximation numérique généralisant le champ des tangentes, suite de fonctions y_(n+1)(t)=y_n(t_0)+int(f(y_n(u),u),u,t0,t) dont il faut montrer la convergence.

Conséquence: y'=-a*y, on a la solution nulle, les autres sont non nulles donc de signe constant, donc on peut integrer y'/y=-a et remplacer la valeur absolue du ln par +/-.
Controle d'une solution par des solutions connues (pas de croisement), par exemple y'=y*(1-y), si 0<y(t0)<1 la solution y reste, y est croissante et majoree -> y converge en +infini, y'->0 donc y tend vers 1. allure du graphe d'une solution

Si des solutions se croisent cela ne peut etre qu'en un point ou f(y,t) n'est pas reguliere, par exemple y'=y/t toutes les solutions se croisent en t=0 ou f(y,t) n'est pas definie.

Illustration machine (Xcas, calculatrices)
-> desolve
-> champ des tangentes

2/ Methodes de resolution explicite
-> Variables separables y'=g(y)*h(t),
solutions particulieres y=racine de g,
sinon
G(y)=H(t)+Cte, G primitive de 1/g et H de h
Cas favorable: on peut calculer y en fonction de t
cas general: equation implicite entre t et y, on peut parfois parametrer les courbes integrales y(u),t(u)
Exemple y'=t*y
-> Equations homogenes lineaires du 1er ordre: y=K*exp(H(t)), K reel.
-> Equations lineaires du 1er ordre avec second membre: y=(C+int(exp(-H(t)*second membre))*exp(H(t))


Haut
 Profil  
 
 Sujet du message: Re: mat307 2017/18
MessagePublié: Jeu Nov 16, 2017 5:05 pm 
Hors-ligne

Inscrit le: Mar Déc 20, 2005 4:02 pm
Messages: 4104
Méthodes explicites de résolution d'équations différentielles, suite
2/ Equation linéaire ordre 1, exemple y'=t*y-t
3/ Equation linéaire ordre n -> espace vectoriel de solutions, de dimension n en appliquant Cauchy-Lipschitz sur le système associé. Pas de méthode générale de résolution. On peut reduire de 1 l'ordre si on connait une solution, exemple y''=2y/t^2 avec 1/t solution, on pose y=z/t
4/ Linéaire à coefficient constant, équation caractéristique P(r)=0.
Prop: Si P a h racines simples r_1, .., r_j, ..., l'espace vectoriel des solutions est engendré par les e^{r_j*t}
Démonstration
Exemple 1: y''+3y'-4y=0,
Exemple 2: y''+2y'+5y=0, passage au reel
Prop: Si r racine multiple, remplacer e^{r*t} m fois par e^{r*t},t*e^{r*t}, ..., t^{m-1}*e^{r*t}
Exemple: y''+4y'+4y=0, verification, generalisation: esquisse de la preuve de la prop


Haut
 Profil  
 
Afficher les messages publiés depuis:  Trier par  
Publier un nouveau sujet Répondre au sujet  [ 9 messages ] 

Heures au format UTC


Qui est en ligne ?

Utilisateurs parcourant actuellement ce forum : Aucun utilisateur inscrit et 2 invités


Vous ne pouvez pas publier de nouveaux sujets dans ce forum
Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
Vous ne pouvez pas éditer vos messages dans ce forum
Vous ne pouvez pas supprimer vos messages dans ce forum
Vous ne pouvez pas insérer de pièces jointes dans ce forum

Rechercher pour:
Sauter vers:  
Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Group
Traduction réalisée par Maël Soucaze © 2009 phpBB.fr